Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；
（2）證明：ln（$\frac{5}{4}$）+ln（$\frac{10}{9}$）+ln（$\frac{17}{16}$）+…+ln（$\frac{{{n^2}+1}}{n^2}$）＜1（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得k≥$\frac{1+lnx}{x}$，令h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，求得導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，即可得到k的范圍；
（2）由（1）知，lnx≤x-1，當且僅當x=1時，取等號．令x=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$（n∈N^*，n≥2），有l(wèi)n（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，結合不等式的性質即可得證．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=lnx-kx+1，f（x）≤0有kx≥1+lnx，x＞0，
即k≥$\frac{1+lnx}{x}$，令h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$=0，解得x=1，
在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在x=1時，取得最大值h（1）=1，即k≥1；
（2）證明：由（1）知，當k=1時，lnx≤x-1，當且僅當x=1時，取等號．
令x=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$（n∈N^*，n≥2），
有l(wèi)n（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
所以有l(wèi)n（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）＜1-$\frac{1}{2}$，ln（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，…，ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
累加得：ln（$\frac{5}{4}$）+ln（$\frac{10}{9}$）+ln（$\frac{17}{16}$）+…+ln（$\frac{{{n^2}+1}}{n^2}$）＜1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1（n∈N^*，n≥2）．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構造函數(shù)法，考查不等式的證明，注意運用不等式的性質和累加法，考查運算化簡能力，屬于中檔題．