Question

12．已知拋物線Ω：x²=2py（p＞0），過點（0，2p）的直線與拋物線Ω交于A、B兩點，AB的中點為M，若點M到直線y=2x的最小距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則p=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可知，設(shè)過點（0，2p）的直線方程為y=kx+2p，且與拋物線的交點A（x₁，y₁），（x₂，y₂），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式，以及點到直線的距離公式即可求出．

解答 解：由題意可知，設(shè)過點（0，2p）的直線方程為y=kx+2p，且與拋物線的交點A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2p}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，消去y得x²-2pkx-4p²=0，
∴x₁+x₂=2pk，
∴$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=pk，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4p=2pk²+4p，
∴$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=pk²+2p，
∴A，B的中點坐標(biāo)為（pk，pk²+2p），
∴點M到直線y=2x的距離為：$\frac{|2pk-p{k}^{2}-2p|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴即k=0時，點M到直線的距離最小，此時p=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，以韋達(dá)定理，考查了運算能力，屬于中檔題