Question

7．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$夾角的余弦值為$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

Answer 1

分析 用$|\overrightarrow{a}|$表示出$\overrightarrow{a}•$（2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$），|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，代入夾角公式計算．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow}^{2}$，
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=7${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$|$\overrightarrow{a}$|，
又$\overrightarrow{a}•$（2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{5}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||2\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{5}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}||\sqrt{7}\overrightarrow{a}|}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．