Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N₊），若數(shù)列{b_n}滿足${b_1}=1，{b_n}+{b_{n+1}}=\frac{1}{a_n}（n∈{N_+}）$，則數(shù)列{b_n}的前2n+3項(xiàng)和T_2n+3=$\frac{{{4^{n+2}}-1}}{{3×{4^{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 S_n=2a_n-2（n∈N₊），可得n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1．n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=2ⁿ．?dāng)?shù)列{b_n}滿足${b_1}=1，{b_n}+{b_{n+1}}=\frac{1}{a_n}（n∈{N_+}）$，可得b_n+b_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$．則數(shù)列{b_n}的前2n+3項(xiàng)和T_2n+3=b₁+（b₂+b₃）+…+（b_2n+2+b_2n+3），利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-2（n∈N₊），∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為：a_n=2a_n-1．
n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2．
∴a_n=2ⁿ．
數(shù)列{b_n}滿足${b_1}=1，{b_n}+{b_{n+1}}=\frac{1}{a_n}（n∈{N_+}）$，∴b_n+b_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
則數(shù)列{b_n}的前2n+3項(xiàng)和T_2n+3=b₁+（b₂+b₃）+…+（b_2n+2+b_2n+3）
=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n+2}}$
=$\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n+2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{{{4^{n+2}}-1}}{{3×{4^{n+1}}}}$．
故答案為：$\frac{{{4^{n+2}}-1}}{{3×{4^{n+1}}}}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．