Question

15．已知函數(shù)f（x）=3^x的定義域為R，滿足f（a+2）=18，函數(shù)g（x）=λ•3^ax-4^x的定義域為[0，1]．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）為定義域上單調減函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）λ為何值時，函數(shù)g（x）的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（a+2）=18計算a；
（2）設t=2^x，根據(jù)復合函數(shù)的單調性得出h（t）=λt-t²在[1，2]上單調遞減，從而得出λ的范圍；
（3）討論對稱軸與區(qū)間[1，2]的關系得出h（t）的單調性，根據(jù)最大值為$\frac{1}{2}$計算λ．

解答 解：（1）∵f（a+2）=3^a+2=18，∴3^a=2，即a=log₃2．
（2）由（1）可知g（x）=λ•3${\;}^{（lo{g}_{3}2）x}$-4^x=λ•2^x-4^x，
設2^x=t，t∈[1，2]，h（t）=λt-t²，
∵t=2^x是增函數(shù)，g（x）是減函數(shù)，
∴h（t）=λt-t²在[1，2]上是減函數(shù)，
∴$\frac{λ}{2}$≤1，即λ≤2．
（3）由（2）可知h（t）=-t²+λt，t∈[1，2]的最大值為$\frac{1}{2}$，
①若$\frac{λ}{2}$≥2即λ≥4，則h（t）在[1，2]上單調遞增，
∴h（2）=-4+2λ=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{9}{4}$（舍）．
②若$\frac{λ}{2}$≤1即λ≤2時，則h（t）在[1，2]上單調遞減，
∴h（1）=-1+λ=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{3}{2}$．
③若1＜$\frac{λ}{2}$＜2，即2＜λ＜4，則h（t）在[1，2]上先增后減，
∴h（$\frac{λ}{2}$）=-$\frac{{λ}^{2}}{4}$+$\frac{{λ}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得λ=$±\sqrt{2}$（舍）．
綜上，λ=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性判斷與最值計算，屬于中檔題．