Question

10．如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=$\sqrt{2}a$，點E是PD中點．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AB=AD=AC=a，PA⊥AB，PA⊥AD，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（2）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，從而∠EHG即為二面角E-AC-D的平面角，由此能示出二面角E-AC-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=a，
在△PAB中，∵PA²+AB²=2a²=PB²，∴PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，
∵AD∩AB=A，∴PA⊥平面ABCD．
解：（2）作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD．
作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，
∴∠EHG即為二面角E-AC-D的平面角θ．
又PE=ED，∴EG=$\frac{1}{2}a$，AG=$\frac{1}{2}a$，GH=AGsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
∴$cosθ=\frac{EG}{EH}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴二面角E-AC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．