Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx，a＞0．
（Ⅰ）若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值集合；
（Ⅱ）證明：（1+

1

n

）ⁿ＜e＜（1+

1

n

）ⁿ⁺¹（其中n∈N ^*，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得x＞0，f′(x)=1-

a

x

，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出f（x）_極小值=f（a）=a-1-alna．由此求出a≥

1

1-lna

．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列a_n=（1+

1

n

）ⁿ，數(shù)列b_n=（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，由

lim

x→∞

(1+

1

x

)x=e，得：

lim

n→∞

an=e，

lim

n→∞

bn=e．由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增且數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，由此能證明（1+

1

n

）ⁿ＜e＜（1+

1

n

）ⁿ⁺¹（其中n∈N ^*，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=x-1-alnx，a＞0，
∴x＞0，f′(x)=1-

a

x

，
由f′（x）=0，得x=a．
x∈（0，a）時，f′（x）＜0；x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）的減區(qū)間是（0，a），增區(qū)間是（a，+∞），
∴f（x）_極小值=f（a）=a-1-alna．
∵對任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，
∴f（x）_極小值=f（a）=a-1-alna≥0．
∴a≥

1

1-lna

．
（Ⅱ）證明：設(shè)數(shù)列a_n=（1+

1

n

）ⁿ，數(shù)列b_n=（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，
由

lim

x→∞

(1+

1

x

)x=e，得：

lim

n→∞

an=e，

lim

n→∞

bn=e．
因此只需證數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增且數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，
①證明數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增：
a_n=（1+

1

n

）ⁿ＜(

(1+ 1 n )+(1+ 1 n )+…+(1+ 1 n )

n+1

)n+1
=(

n+2

n+1

)n+1=a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
②證明數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減：
b_n=（1+

1

n

）ⁿ⁺¹=

1

( n n+1 )n+1

=

1

(1- 1 n+1 )n+1

（ 令 t=-（n+1），換元 ）
=（1+

1

t

）^t=a_t，
由①得a_t關(guān)于t單調(diào)遞增，而t=-（n+1）關(guān)于n單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，{b_n}．
∴（1+

1

n

）ⁿ＜e＜（1+

1

n

）ⁿ⁺¹（其中n∈N ^*，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意構(gòu)造成法、導(dǎo)數(shù)和極限性質(zhì)的合理運用．