Question

13．經(jīng)過拋物線C：y²=2px（p＞0）外的點(diǎn)A（-2，-4），且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且|AM|、|MN|、|AN|成等比數(shù)列．
（1）求拋物線C的方程；
（2）E，F(xiàn)為拋物線C上的兩點(diǎn)，且OE⊥OF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△OEF的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）直線MN的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入拋物線方程求拋物線C的方程，利用參數(shù)的幾何意義，結(jié)合|AM|、|MN|、|AN|成等比數(shù)列，建立方程求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）利用拋物線的極坐標(biāo)方程，確定S，即可求△OEF的面積的最小值．

解答 解：（1）直線MN的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）…（1分）
代入拋物線方程得${t^2}-（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）t+32+8p=0$
所以|AM|•|AN|=32+8p…（2分）$|MN{|^2}={（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）^2}-4（32+8p）$…（3分）
解得p=1
所以拋物線方程為y²=2x…（4分）
（2）拋物線的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，…（5分）
設(shè)$E（{ρ_1}，θ），F(xiàn)（{ρ_2}，\frac{3}{2}π+θ）$，${ρ_1}=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$…（6分）${ρ_2}=\frac{2sinθ}{{{{cos}^2}θ}}$…（7分）
所以$S=\frac{1}{2}×\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}×\frac{2sinθ}{{{{cos}^2}θ}}=\frac{4}{sin2θ}$…（8分）
當(dāng)$2θ=\frac{π}{2}+2kπ$時(shí)，即$θ=\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$所求面積取得最小值4…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，正確運(yùn)用直線的參數(shù)方程，拋物線的極坐標(biāo)方程是關(guān)鍵，屬于中檔題．