Question

18．已知點A是拋物線y²=4x的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點B是其焦點，點P在該拋物線上，且滿足|PA|=m|PB|，當(dāng)m取得最大值時，點P恰在以A，B為焦點的雙曲線上，則雙曲線的實軸長為（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． 2$\sqrt{2}$-2
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． 2$\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），利用兩點間的距離公式求出m的表達式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出m的最值，結(jié)合雙曲線的定義進行求解即可．

解答 解：設(shè)P（x，y），則由題意得A（-1，0），B（1，0），
則m=$\frac{|PA|}{|PB|}$=$\sqrt{\frac{（x+1）^{2}+{y}^{2}}{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（x+1）^{2}+4x}{（x-1）^{2}+4x}}$=$\sqrt{1+\frac{4x}{{x}^{2}+2x+1}}$，
當(dāng)x=0時，m=1，
當(dāng)x＞0時，m=$\sqrt{1+\frac{4x}{{x}^{2}+2x+1}}$=$\sqrt{1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}+2}}$≤$\sqrt{1+\frac{4}{2+2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，取等號，∴此時P（1，±2），
|PA|=2$\sqrt{2}$，|PB|=2，
∵點P在以A，B為焦點的雙曲線上，
∴由雙曲線的定義得2a=|PA|-|PB|=2$\sqrt{2}-2$，
故選：B．

點評 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，利用兩點間的距離公式結(jié)合基本不等式求出m的最值是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．