Question

已知函數(shù)，定義域為（-1，1）
（1）求的值．
（2）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性并給出證明．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)，定義域為（-1，1）；
∴任取x∈（-1，1），有f（-x）=x+log₂=-（-x+log₂）=-f（x），∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)；
∴=f（）-f（）=0；
（2）f（x）是定義域上（-1，1）的減函數(shù)，證明如下：
∵f（x）是定義域上（-1，1）的奇函數(shù)，
∴任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+log₂）-（-x₂+log₂）=（x₂-x₁）+log₂（•）=（x₂-x₁）+log₂；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，＞1，即log₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
所以，f（x）是定義域上（-1，1）的減函數(shù)．
分析：（1）先證明函數(shù)f（x）是定義域上的奇函數(shù)，再計算的值；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）是定義域上的增減性，步驟是一取值，二作差，三判正負，四下結論．
點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應用與單調(diào)性的證明，是一個容易出錯的題目．