Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：
（1）函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
（2）對任意的實數(shù)x，都有f（x+3）=f（x）成立；
（3）當(dāng)x∈[0，

3

2

]時，f（x）=

3

2

-|

3

2

-2x|，
則方程f（x）=

1

|x|

在[-4，4]上根的個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，是周期等于3的周期函數(shù)，則f（x）=

1

|x|

在[-4，4]上根的個數(shù)，就是函數(shù)f（x） 與函數(shù) y=

1

|x|

的交點的個數(shù)，結(jié)合圖象得出結(jié)論．

解答： 解：∵1）函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
∴f（x）是奇函數(shù)；
∵f（x+3）=f（x）成立，∴f（x）是周期等于3的周期函數(shù)．
當(dāng)x∈[0，

3

2

]時，f（x）=

3

2

-|

3

2

-2x|=

2x，0≤x≤ 3 4 3-2x， 3 4 ＜x≤ 3 2

，
則f（x）=

1

|x|

在[-4，4]上根的個數(shù)就是函數(shù)f（x） 與函數(shù) y=

1

|x|

的交點的個數(shù)，如圖所示：

故答案為：5

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性以及方程的根與函數(shù)圖象交點的關(guān)系；考查數(shù)形結(jié)合解決方程根的個數(shù)問題．此類問題經(jīng)常考查，注意掌握．