Question

【題目】已知橢圓，焦距為2，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 面積的最大值為3

【解析】試題分析：(Ⅰ)由橢圓的焦點(diǎn)為，離心率為，求出，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)由題意，得、 、、 四點(diǎn)共圓，該圓的方程為，得的方程為，直線的方程為，設(shè)，則，從而最大， 就最大，可設(shè)直線的方程為，由，得，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式，能求出的面積的最大值.

試題解析：(Ⅰ)由題意, ,解得,由,解得;

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)由題意,得四點(diǎn)共圓,該圓的方程為,

又圓的方程為,故直線的方程為,

令,得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.

設(shè),則,因此最大, 就最大,

由題意直線的斜率不為零,可設(shè)直線的方程為,

由得,

所以,

又直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),則,即,

,

令,則,

令,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,

即當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,因此有；

所以,當(dāng)時(shí)取等號.

故面積的最大值為3.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的方程、韋達(dá)定理和三角形面積公式及單調(diào)性求最值，屬于難題. 解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用函數(shù)單調(diào)法面積的最大值的.