Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為{S_n}，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）． 
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：a_n=$\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（III）令c_n=$\frac{{{{（{-1}）}^n}{a_n}{b_n}}}{4}$，求數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）n=1時(shí)，求得b₁=8，再將n換為n-1，相減可得b_n=2（3ⁿ+1），檢驗(yàn)即可得到所求通項(xiàng)；
（III）求得c_n=$\frac{（-1）^{n}•2n•2（{3}^{n}+1）}{4}$=（-1）ⁿ•（n•3ⁿ+n），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和及錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
可得n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-n（n-1）=2n，
上式對(duì)n=1也成立．
則a_n=2n，n∈N^*；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足：a_n=$\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$，
可得n=1時(shí)，a₁=$\frac{_{1}}{4}$，即有b₁=8，
n≥2時(shí)，a_n-1=$\frac{_{1}}{3+1}$+$\frac{_{2}}{{3}^{2}+1}$+…+$\frac{_{n-1}}{{3}^{n-1}+1}$，
相減可得a_n-a_n-1=$\frac{_{n}}{{3}^{n}+1}$=2，
即有b_n=2（3ⁿ+1），
上式對(duì)n=1也成立．
則b_n=2（3ⁿ+1），n∈N^*；
（III）c_n=$\frac{{{{（{-1}）}^n}{a_n}{b_n}}}{4}$=$\frac{（-1）^{n}•2n•2（{3}^{n}+1）}{4}$=（-1）ⁿ•（n•3ⁿ+n），
數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n=-[1•3+3•3³+…+（2n-1）•3^2n-1]
+[2•3²+4•3⁴+…+2n•3²ⁿ]+（-1+2-3+4-…-2n+1+2n），
令S_n=1•3+3•3³+…+（2n-1）•3^2n-1，
9S_n=1•3³+3•3⁵+…+（2n-1）•3²ⁿ⁺¹，
相減可得-8S_n=3+2（3³+3⁵+…+3^2n-1）-（2n-1）•3²ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{27（1-{9}^{n-1}）}{1-9}$-（2n-1）•3²ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得S_n=$\frac{15}{32}$+$\frac{8n-5}{32}$•3²ⁿ⁺¹，
令M_n=2•3²+4•3⁴+…+2n•3²ⁿ，
9M_n=2•3⁴+4•3⁶+…+2n•3²ⁿ⁺²，
相減可得-8M_n=18+2（3⁴+3⁶+…+3²ⁿ）-2n•3²ⁿ⁺²
=18+2•$\frac{81（1-{9}^{n-1}）}{1-9}$-2n•3²ⁿ⁺²，
化簡(jiǎn)可得M_n=$\frac{9}{32}$+$\frac{8n-1}{32}$•3²ⁿ⁺²，
則T_2n=-S_n+M_n+n
=-$\frac{3}{16}$+$\frac{3+24n}{16}$•3²ⁿ+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和，注意運(yùn)用分組求和和錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．