Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x+$\frac{ax}{x+1}$-1（a∈R且a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-1時，討論函數(shù)f（x）在（-1，+∞）的單調(diào)性；
（2）設(shè)y=t（x）可求導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)函數(shù)t′（x）仍可求導(dǎo)數(shù)，則t′（x）再次求導(dǎo)所得函數(shù)稱為原函數(shù)y=t（x）的二階函數(shù)，記為t′′（x），利用二階導(dǎo)函數(shù)可以判斷一個函數(shù)的凹凸性．一個二階可導(dǎo)的函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是凸函數(shù)的充要條件是這個函數(shù)在（a，b）的二階導(dǎo)函數(shù)非負(fù)．
若g（x）=（x+1）[f（x）+1]+（a-$\frac{1}{{2}^{{e}^{4}}}$）x²在（-∞，-1）不是凸函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)g（x）的二階導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，令h（x）=$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
 令f′（x）=0，解得：x=0，
設(shè)r（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，則r′（x）=e^x+$\frac{2}{{（x+1）}^{3}}$，
當(dāng)x＞-1時，r′（x）＞0，r（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
故x=0是r（x）在（-1，+∞）內(nèi)的唯一零點(diǎn)，
即x=0是f′（x）在（-1，+∞）內(nèi)的唯一零點(diǎn)，
所以當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＜0，即f（x）在（-1，0）上是單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（II）g（x）=（x+1）[f（x）+1]+（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$）x²=（x+1）e^x+（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$）x²+ax，
g′（x）=（x+2）e^x+2（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$）x+a，g″（x）=（x+3）e^x+2（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$），
如果g（x）在（-∞，-1）是凸函數(shù)，那么?x∈（-∞，-1）都有g(shù)″（x）≥0，
g″（x）≥0⇒a≥$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，
令h（x）=$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，即得h′（x）=-$\frac{1}{2}$（x+4）e^x，
h′（x）=0⇒x=-4，當(dāng)x＜-4時，h′（x）＞0，當(dāng)-4＜x＜-1時，h′（x）＜0，
即h（x）在（-∞，-4）單調(diào)遞增，在（-4，-1）單調(diào)遞減，所以h（x）≤h（-4）=e^-4，
即a≥e^-4，又g（x）在（-∞，-1）不是凸函數(shù)，
所以a∈（-∞，e^-4）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．