Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S_n的最大值；
（3）設(shè)b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和T₁₀．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）配方，由二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最大值；
（3）求出b_n=|a_n|=|11-2n|，討論當(dāng)1≤n≤5時(shí)，b_n=11-2n；n≥6時(shí)，b_n=2n-11．計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
可得n=1時(shí)，a₁=S₁=10-1=9；
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-10（n-1）+（n-1）²=11-2n，
上式對(duì)n=1也成立．
則a_n=11-2n，n∈N^*；
（2）S_n=10n-n²=-（n-5）²+25，
當(dāng)n=5時(shí)，S_n的最大值為25；
（3）b_n=|a_n|=|11-2n|，
當(dāng)1≤n≤5時(shí)，b_n=11-2n；
n≥6時(shí)，b_n=2n-11．
則數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和T₁₀=9+7+5+3+1+1+3+5+7+9
=2×$\frac{1}{2}$（9+1）×5=50．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值以及等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．