Question

【題目】已知橢圓過點．其左、右兩個焦點分別為、，短軸的一個端點為，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線：與橢圓交于不同的兩點，，且為坐標(biāo)原點．若，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意，由可得，將點代入橢圓方程，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡后由韋達(dá)定理表示出，．由解得；由，可結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得，表示出，利用換元法可令，即可化簡為關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合對勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求得的最大值.

（1）由題意得，解得，

所以橢圓的方程為．

（2）設(shè)，．

則，

∴，．

由，

化簡可得，解得．①

由，得，

所以．

又，

∴

，所以．②

綜合①②可知．

令

則，，所以，

因為在上單調(diào)遞增，

所以在上單調(diào)遞減，

當(dāng)，即時，的面積最大，最大值為．