Question

13．若x∈[0，+∞），則下列不等式不恒成立的是（　�。�

• A． e^x≥x+1
• B． ln（x+2）-ln（x+1）$＜\frac{1}{x+1}$
• C． $\frac{2}{π}$x+cosx≥1+sinx
• D． cosx≥1-$\frac{1}{2}$x²

Answer 1

分析 對選項(xiàng)加以判斷，運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷符號可得單調(diào)性，對于不恒成立可通過舉特殊值，即可得到C不恒成立．

解答 解：對于A，由e^x-x-1的導(dǎo)數(shù)為e^x-1，當(dāng)x≥0時，導(dǎo)數(shù)大于等于0，可得e^x-x-1≥0，故A恒成立；
對于B，ln（x+2）-ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$=ln$\frac{x+2}{x+1}$-$\frac{1}{x+1}$=ln（1+$\frac{1}{x+1}$）-$\frac{1}{x+1}$，令t=$\frac{1}{x+1}$（0＜t≤1），
ln（1+t）-t的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1}{1+t}$-1=$\frac{-t}{1+t}$＜0，可得ln（1+t）-t＜0，即為ln（1+$\frac{1}{x+1}$）＜$\frac{1}{x+1}$，故B恒成立；
對于C，取x=$\frac{π}{2}$時，$\frac{2}{π}$•$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$-1-sin$\frac{π}{2}$=-1＜0，故C不恒成立；
對于D，cosx-1+$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為-sinx+x，當(dāng)x≥0時，sinx≤x，可得cosx-1+$\frac{1}{2}$x²≥0，故D恒成立．
綜上可得，C不恒成立．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．