Question

5．已知x≥y＞0．
（1）若xy=1，|x-1|+|y-1|≥1，求x的取值范圍．
（2）若x+y=1，證明：（$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）•（$\frac{1}{{y}^{2}}$-1）≥9．

Answer 1

分析 （1）由條件可得x≥1，0＜y≤1，原不等式|x-1|+|y-1|≥1化為x²-x-1≥0，即可得到x的范圍；
（2）由條件將原不等式左邊化為$\frac{（x+y）^{2}-（{x}^{2}+{y}^{2}）+{x}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2}{y}^{2}}$=$\frac{2}{xy}$+1，運用均值不等式即可得證．

解答 解：（1）由x≥y＞0，xy=1，可得x≥1，0＜y≤1，
不等式|x-1|+|y-1|≥1化為x-1+1-y≥1，即為y≤x-1，
由y=$\frac{1}{x}$，可得x²-x-1≥0，
解得x≥$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或x≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
由x≥1，可得x的取值范圍是[$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）；
（2）由x+y=1，1＞x≥y＞0，
可得（$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）•（$\frac{1}{{y}^{2}}$-1）=$\frac{（1-{x}^{2}）（1-{y}^{2}）}{{x}^{2}{y}^{2}}$
=$\frac{1-（{x}^{2}+{y}^{2}）+{x}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2}{y}^{2}}$=$\frac{（x+y）^{2}-（{x}^{2}+{y}^{2}）+{x}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2}{y}^{2}}$
=$\frac{2}{xy}$+1≥$\frac{2}{（\frac{x+y}{2}）^{2}}$+1=8+1=9．
即有原不等式成立．

點評 本題考查不等式的解法和不等式的證明，注意運用二次不等式的解法和均值不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．