Question

12．定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)y=f（x）為f'（x），滿足f（x）＞f'（x），且f（0）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則F′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＞f′（x），
∴F′（x）＜0，即函數(shù)F（x）在定義域上單調(diào)遞減．
∵f（0）=1，
∴不等式f（x）＜e^x等價為不等式$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1等價為F（x）＜F（0），
解得x＞0，
故不等式的解集為（0，+∞），
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．