Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F（-c，0），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，點M在橢圓上，直線FM的斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，直線FM被圓x²+y²=$\frac{1}{2}$截得的線段的長為c．
（1）求橢圓的方程；
（2）設動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于$\sqrt{2}$，求直線OP（O為原點）的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過離心率，計算可得a²=3c²、b²=2c²，設直線FM的方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+c}）$，利用勾股定理及弦心距公式，計算可得a²=3，b²=2，即可求橢圓的方程；
（2）設動點P的坐標為（x，y），分別聯(lián)立直線FP、直線OP與橢圓方程，分x∈（-$\frac{3}{2}$，-1）與x∈（-1，0）兩種情況討論即可得出結論．

解答 解：（1）由已知有$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，又a²=b²+c²，可得a²=3c²，b²=2c²
設直線FM的方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+c}）$，由圓心到直線FM的距離公式可得${d^2}={（{\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}c}}{{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}}}）^2}=\frac{c^2}{4}⇒{d^2}+{（{\frac{c}{2}}）^2}=\frac{1}{2}⇒c=1$，∴a²=3，b²=2
故所求的橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）設點P的坐標為（x，y），直線FP的斜率為t，F(xiàn)P：y=t（x+1）（x≠-1）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=t（{x+1}）\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$消去y整理$2{x^2}+3{t^2}{（{x+1}）^2}=6⇒t=\sqrt{\frac{{6-2{x^2}}}{{3{{（{x+1}）}^2}}}}＞\sqrt{2}$，
可解得$-\frac{3}{2}＜x＜-1$或-1＜x＜0．
再設直線OP的斜率為$m，⇒m=\frac{y}{x}，y=mx（{x≠0}）$，
再聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=mx\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.⇒{m^2}=\frac{2}{x^2}-\frac{2}{3}$
 ①當$-\frac{3}{2}＜x＜-1$時，y=t（x+1）＜0⇒m＞0故$m=\sqrt{\frac{2}{x^2}-\frac{2}{3}}$得$m∈（{\frac{{\sqrt{2}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
 ②當-1＜x＜0時，y=t（x+1）＜0⇒m＜0故$m=-\sqrt{\frac{2}{x^2}-\frac{2}{3}}$得$m∈（{-∞，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
綜上直線OP的斜率m的取值范圍$m∈（{-∞，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）∪（{\frac{{\sqrt{2}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$．

點評 本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程和圓的方程、直線與圓的位置關系、一元二次不等式等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質，考查運算求解能力、以及用函數(shù)與方程思想解決問題的能力，屬于中檔題．