Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（φx+φ） （A＞0，φ＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，

3

2

），它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，3）、（x₀+2π，-3）
（I）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（II）求這個(gè)函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程；
（III）求f（x）在x∈[0，π]時(shí)的值域．

Answer 1

分析：（I）通過(guò)函數(shù)的最大值點(diǎn)求出A，最大值與最小值的橫坐標(biāo)求出函數(shù)的周期，然后求出ω，利用函數(shù)經(jīng)過(guò)（0，

3

2

），以及φ的范圍，求出φ，然后得到函數(shù)y=f（x）的解析式．
（II）因?yàn)橛?span id="gadgunw" class="MathJye">

1

2

x+

π

6

=kπ，k∈Z，解得x的值，可得函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．由

1

2

x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得x的值，可得函數(shù)的對(duì)稱軸方程．
（III）由 x∈[0，π]，可得

1

2

x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，可得 sin（

1

2

x+

π

6

）的最大值與最小值，由此求得函數(shù)f（x）=3sin（

1

2

x+

π

6

）的值域．

解答：解：（I） 由題意可得A=3，由在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3），
可得

T

2

=x₀+2π-x₀=2π，∴T=4π，從而ω=

1

2

．
又圖象與y軸交于點(diǎn)（0，

3

2

），∴

3

2

=3sinφ，故有 sinφ=

1

2

．
由于|φ|＜

π

2

），∴φ=

π

6

，故 函數(shù)的解析式為f（x）=3sin（

1

2

x+

π

6

）．
（II）因?yàn)橛?span id="qmgp66t" class="MathJye">

1

2

x+

π

6

=kπ，k∈Z，解得x=-

π

3

+2kπ，（k∈Z），所以函數(shù)的對(duì)稱中心：（-

π

3

+2kπ，0）（k∈Z）．
因?yàn)橛?span id="0oxv6vy" class="MathJye">

1

2

x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=2kπ+

2π

3

，故函數(shù)的對(duì)稱軸方程為 x=2kπ+

2π

3

，k∈Z．
（III）∵x∈[0，π]，∴

1

2

x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，故當(dāng)

1

2

x+

π

6

=

π

6

時(shí)，函數(shù)取得最小值為3×

1

2

=

3

2

；
當(dāng)

1

2

x+

π

6

=

π

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值為 3．
綜上可得，函數(shù)的值域?yàn)閇

3

2

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，注意A，ω，φ的求法，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力，注意平移時(shí)x的系數(shù)，避免錯(cuò)誤．