Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．以點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$
（Ⅰ）將直線(xiàn)l化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)Q 到直線(xiàn)l 的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρcosθ+ρsinθ=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能示出直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}cosα，sinα$），點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離為d=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，由此能求出曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)Q 到直線(xiàn)l 的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）∵直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$
∴ρ（cos$θcos\frac{π}{4}$+sin$θsin\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
化簡(jiǎn)得，ρcosθ+ρsinθ=4，…（1分）
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4．…（3分）
（Ⅱ）由于點(diǎn)Q是曲線(xiàn)C上的點(diǎn)，則可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}cosα，sinα$），…（4分）
點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$ …（5分）
=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$．…（7分）
當(dāng)sin（$α+\frac{π}{3}$）=-1時(shí)，即$α=2kπ-\frac{5}{6}π$，
d_max=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$．…（9分）
此時(shí)，cos$α=cos（-\frac{5}{6}π）$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin$α=sin（-\frac{5}{6}π）=-\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)Q（-$\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}$）．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線(xiàn)上的一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的合理運(yùn)用．