Question

10．過點M（0，3）作直線l與⊙C：（x+3）²+（y-3）²=16相交于A、B兩點．
（1）求當(dāng)|AB|的長度取最大值時直線l的方程；
（2）是否存在這樣的直線l，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{17}{5}$？若存在，求出直線l的橫截距；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)|AB|的長度取最大值時直線l過圓心，直線l的方程為：y=3．
（2）依題意直線l得斜率存在，設(shè)直線方程為：y=kx+3，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{（x+3）^{2}+（y-3）^{2}=16}\end{array}\right.$得（1+k²）x²+6x-7=0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-6}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-7}{1+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=-$\frac{17}{5}$求解

解答 解：（1）當(dāng)|AB|的長度取最大值時直線l過圓心（-3，3），其斜率為k=0，此時直線l的方程為：y=3．
（2）依題意直線l得斜率存在，設(shè)直線方程為：y=kx+3．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{（x+3）^{2}+（y-3）^{2}=16}\end{array}\right.$得（1+k²）x²+6x-7=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-6}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-7}{1+{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=-7+$\frac{-6}{1+{k}^{2}}×3k+9$=-$\frac{17}{5}$，
解得k=$\frac{1}{3}$或3，
∴直線方程為：y=3x+3或令y=$\frac{1}{3}$x+3，
∴存在這樣的直線l，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{17}{5}$，直線l的橫截距為-1或-9．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．