Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-y²+8=0．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)（1）中所求的軌跡與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)，求證：OC⊥OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-y²+8=0．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-y²+8=0．
∴-x•（-x）+（-2-y）•（4-y）-y²+8=0．
化為：x²=2y．
（2）證明：設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化為：x²-2x-4=0．
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-4，
∴y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=2（x₁+x₂）+x₁•x₂+4，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₁•x₂+y₁y₂=2（x₁+x₂）+2x₁•x₂+4=4-8+4=0．
∴OC⊥OD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．