Question

【題目】函數(shù)

(1)討論函數(shù)的單凋性；

(2)若存在使得對任意的不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）都成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略；(Ⅱ)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，討論參數(shù)的取值確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而判定函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅱ)先借助（Ⅰ）的結(jié)論求出不等式左邊的最小值，即將存在性問題轉(zhuǎn)化為左邊的最小值大于不等式右邊，再作差構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

試題解析：（I） ，記

（i）當(dāng)時，因為，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)時，因為，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)時，由，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增

（II）由（I）知當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，函數(shù)的最大值是，對任意的，

都存在，使得不等式成立，

等價于對任意的，不等式都成立，

即對任意的，不等式都成立，

記，由，

，

由得或,因為，所以，

①當(dāng)時，，且時，，

時，，所以，

所以時，恒成立；

②當(dāng)時，，因為，所以，

此時單調(diào)遞增，且，

所以時，成立；

③當(dāng)時，，，

所以存在使得，因此不恒成立．

綜上，的取值范圍是．

另解（II）由（Ⅰ）知，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以時，函數(shù)的最大值是，

對任意的，都存在，

使得不等式成立，

等價于對任意的，不等式都成立，

即對任意的，不等式都成立，

記，

由，且

∴對任意的，不等式都成立的必要條件為

又，

由得或

因為，所以，

當(dāng)時，，且時，，

時，，所以，

所以時，恒成立；

②當(dāng)時，，因為，所以，

此時單調(diào)遞增，且，

所以時，成立．

綜上，的取值范圍是