Question

15．在△ABC中，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若滿足a²=（b-c）²+（2-$\sqrt{3}$）bc
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若$\frac{1-cos2A}{1-cos2B}$=$\frac{a}$，且S_△ABC=$\sqrt{3}$，求邊長c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理即可求出角A的大�。�
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的恒等變換，結合正弦、余弦定理，即可求出結果．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，a²=（b-c）²+（2-$\sqrt{3}$）bc，
∴b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵$\frac{1-cos2A}{1-cos2B}$=$\frac{a}$，
∴$\frac{{2sin}^{2}A}{{2sin}^{2}B}$=$\frac{a}$，
即$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{a}$，
∴$\frac{a}$=1，即a=b；
∴B=A=$\frac{π}{6}$，C=π-（A+B）=$\frac{2π}{3}$；
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$a²sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，∴a=2；
∴c²=a²+b²-2abcosC=2²+2²-2×2×2cos$\frac{2π}{3}$=12，
解得邊長c=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角恒等變換和正弦、余弦定理的應用問題，也考查了推理與計算能力，是綜合性題目．