Question

4．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$），
（I）求證：直線1過(guò)定點(diǎn)，并求其定點(diǎn)M坐標(biāo)；
（Ⅱ）直線l與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B．當(dāng)|AB|最小時(shí)，求α的值．

Answer 1

分析 （I）求出直線l的普通方程，化成點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)論；
（II）求出圓C的普通方程，判斷M在圓內(nèi)部，故當(dāng)AB與CM垂直時(shí)，|AB|最小，利用直線垂直得出直線l的斜率，從而求出α的值．

解答 解：（I）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程為$\frac{x-1}{cosα}=\frac{y-\sqrt{3}}{sinα}$，即y-$\sqrt{3}$=tanα（x-1）．
∴直線l過(guò)定點(diǎn)M（1，$\sqrt{3}$）．
（II）∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$）=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ，∴ρ²=2ρsinθ+2$\sqrt{3}$ρcosθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=2y+2$\sqrt{3}$x，即（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4．
∴圓C的圓心為C（$\sqrt{3}$，1）．
∵CM=$\sqrt{（\sqrt{3}-1）^{2}+（1-\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$＜2，∴點(diǎn)M在圓C內(nèi)部．
∴當(dāng)直線l與CM垂直時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最小，
此時(shí)tanα•k_CM=-1，
∵k_CM=$\frac{\sqrt{3}-1}{1-\sqrt{3}}$=-1，∴tanα=1，
∴α=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．