Question

5．如圖，一個無蓋圓臺形容器的上、下底面半徑分別為1和2，高為$\sqrt{3}$，AD，BC是圓臺的兩條母線（四邊形ABCD是經(jīng)過軸的截面）．一只螞蟻從A處沿容器側(cè)面（含邊沿線）爬到C處，最短路程等于（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． π+2
• C． $\frac{π}{3}$+2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{4π}{3}$+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意求出圓臺所在圓錐的母線長，利用弧長公式求出圓心角，把最短路程轉(zhuǎn)化為三角形的邊長求解．

解答 解：沿母線AD剪開并展開如圖，
∵圓臺形容器的上、下底面半徑分別為1和2，高為$\sqrt{3}$，
∴OB=4，OE=2．
設(shè)展開圖的圓心角為α，則2π•1=2α，
∴α=π，
∴∠AOE=90°，
∴AE=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$．
∴經(jīng)過的最短路程為2$\sqrt{5}$．
故選：A．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，該類問題的解法是：首先剪展，然后在三角形中借助于正弦定理或余弦定理求解，是中檔題．