Question

3．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=4，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=-$\frac{31}{2}$．

Answer 1

分析 由題意求得$\overrightarrow{c}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{7}{2}$，再把要求的式子化為-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$，計算可得結(jié)果．

解答 解：已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=4，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{c}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=12=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3+16+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{7}{2}$．
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-（${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$）=-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{7}{2}$-3-16=-$\frac{31}{2}$，
故答案為：-$\frac{31}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．