Question

【題目】我校為進(jìn)行“陽(yáng)光運(yùn)動(dòng)一小時(shí)”活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為S（平方米）的矩形AMPN健身場(chǎng)地．如圖，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在AB上，且P點(diǎn)在斜邊BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．設(shè)矩形AMPN健身場(chǎng)地每平方米的造價(jià)為 元，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為 元（k為正常數(shù)）．

（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）求總造價(jià)T關(guān)于面積S的函數(shù)T=f（S）；
（3）如何選取|AM|，使總造價(jià)T最低（不要求求出最低造價(jià)）．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△PMC中，顯然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，

∴ ，

矩形AMPN的面積 ，x∈[10，20]，

由x（30﹣x）≤（ ）2=225，當(dāng)x=15時(shí)，可得最大值為225 ，

當(dāng)x=10或20時(shí)，取得最小值200 ，

于是 為所求．

（2）解：矩形AMPN健身場(chǎng)地造價(jià)T1= ，

又△ABC的面積為 ，即草坪造價(jià)T2= ，

由總造價(jià)T=T1+T2，

∴ ，

（3）解：∵ ，

當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí) ，解得x=12或x=18，

答：選取|AM|的長(zhǎng)為12米或18米時(shí)總造價(jià)T最低

【解析】（1）根據(jù)題意，得到健身場(chǎng)地的面積，再結(jié)合矩形的面積計(jì)算公式求出面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得范圍，（2）由三角形的面積和題意得到總造價(jià)，得到范圍，（3）使用均值不等式得到造價(jià)最低時(shí)的x=12或x=18.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)的值是解答本題的根本，需要知道利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲担焕�用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�；函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法．