Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}，如果a₄=4，a₃+a₇=10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求b_n的前n和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出a₅，得出公差，從而得出通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，∴a₅=$\frac{1}{2}$（a₃+a₇）=5，
∴d=a₅-a₄=1，
∴a_n=a₄+（n-4）d=n．
（2）b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法數(shù)列求和，屬于中檔題．