Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為E，P為直線x=$\frac{5}{4}$a上的任意一點(diǎn)，且（$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PE}$）•$\overrightarrow{EF}$=2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)F垂直于x軸的直線AB與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），動(dòng)直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且M，N位于直線AB的兩側(cè)，若始終保持∠MAB=∠NAB，求證：直線MN的斜率為定值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)（$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PE}$）•$\overrightarrow{EF}$=2列方程得出a，c的關(guān)系，再根據(jù)離心率求出a，b得出橢圓方程；
（II）由題意可知AM與AN的斜率之和為0，設(shè)l方程：y=kx+m，代入橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出恒等式求出k的值．

解答 解：（I）F（c，0），E（a，0），設(shè)P（$\frac{5a}{4}$，y），
則$\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PF}$=（$c-\frac{3a}{2}$，-2y），$\overrightarrow{EF}$=（c-a，0），
∴（$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PE}$）•$\overrightarrow{EF}$=（c-$\frac{3a}{2}$）（c-a）=2，
∵橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴a=2c，
∴c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）直線AB的方程為x=1，代入橢圓方程得y=±$\frac{3}{2}$．
∴A（1，$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由題意可知△＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵∠MAB=∠NAB，∴k_AM+k_AN=0，
∵k_AM=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{k{x}_{1}+m-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$，k_AN=$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k{x}_{2}+m-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，
∴$\frac{k{x}_{1}+m-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+m-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=2k+（k+m-$\frac{3}{2}$）$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{2}+1}$=2k-（k+m-$\frac{3}{2}$）$\frac{8km+8{k}^{2}+6}{4{m}^{2}+4{k}^{2}+8km-9}$=0，
∴（4k-2）m+4k²-8k+3=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k-2=0}\\{4{k}^{2}-8k+3=0}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{2}$．
∴直線MN的斜率為定值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．