Question

19．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=$\sqrt{2}$AB=2CF=2
（1）求證：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E-BD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過(guò)D作AE的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EC⊥平面BDF．
（2）求出平面BDF的一個(gè)法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角E-BD-F的余弦值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=$\sqrt{2}$AB=2CF=2，
∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過(guò)D作AE的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}，0，2$），B（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），D（0，0，0），F(xiàn)（0，$\sqrt{2}$，1），
$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{EC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，-2），
∴$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EC}$=-2+2+0=0，$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{EC}$=0+2-2=0，
∴$\overrightarrow{DB}⊥\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}⊥\overrightarrow{EC}$，∴DB⊥EC，DF⊥EC，
∵DB∩DF=D，∴EC⊥平面BDF．
解：（2）∵EC⊥平面BDF，∴平面BDF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{EC}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，2），
$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{2}，0，2$），
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，-1），
設(shè)二面角E-BD-F的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{EC}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|-2-2-2|}{\sqrt{2+2+4}•\sqrt{2+2+1}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴二面角E-BD-F的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．