Question

一動圓與圓O₁：（x+2）²+y²=3外切，與圓O₂：（x-2）²+y²=27內(nèi)切．
（I）求動圓圓心M的軌跡方程；
（II）試探究圓心M的軌跡上是否存在點P，使直線與PO₁的斜率•=1？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）．

Answer 1

解：（1）設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為R．
由題意，得|MO₁|=，|MO₂|=3-R，（1分）
∴，
由橢圓定義知M在以O(shè)₁，O₂為焦點的橢圓上，（3分）
且a=2，c=2，
∴b²=a²-c²=12-4=8． （5分）
∴動圓圓心M的軌跡方程為． （6分）
（II）由（I）知動圓圓心M的軌跡是橢圓，
它的兩個焦點坐標(biāo)分別為O₁（-2，0）和O₂（2，0），（7分）
設(shè)P（x，y）是橢圓上的點，
由，
得，（x≠±2）（9分）
即x²-y²=4（x≠±2），這是實軸在x軸，頂點是橢圓的兩個焦點的雙曲線，
它與橢圓的交點即為點P．
由于雙曲線的兩個頂點在橢圓內(nèi)，
根據(jù)橢圓和雙曲線的對稱性可知，它們必有四個交點．
即圓心M的軌跡上存在四個點P，
使直線PO₁與PO₂的斜率=1．（12分）
分析：（1）設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為R．由題意，得|MO₁|=，|MO₂|=3-R，由橢圓定義知M在以O(shè)₁，O₂為焦點的橢圓上，由此能求出動圓圓心M的軌跡方程．
（II）由動圓圓心M的軌跡是橢圓，它的兩個焦點坐標(biāo)分別為O₁（-2，0）和O₂（2，0），設(shè)P（x，y）是橢圓上的點，由，得，（x≠±2），由此能夠推導(dǎo)出圓心M的軌跡上存在四個點P，使直線PO₁與PO₂的斜率=1．
點評：本題考查動圓圓心軌跡的求法，探索滿足條件的點的存在性．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答．