Question

12．求滿足下列條件的各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）圓心在直線5x-3y=8上，且與兩坐標(biāo)軸相切
（2）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，4）、B（3，2）且圓心在y軸上．

Answer 1

分析 （1）與坐標(biāo)軸相切，所以圓心到兩個(gè)坐標(biāo)軸距離相等，結(jié)合圓心在5x-3y-8=0上，求出圓心坐標(biāo)，可得圓的半徑，從而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)圓心在y軸上設(shè)出圓心坐標(biāo)（0，m）和半徑r，寫出圓的方程，然后把A與B的坐標(biāo)代入即可求出m和r的值，寫出圓的方程即可．

解答 解：（1）與坐標(biāo)軸相切，所以圓心到兩個(gè)坐標(biāo)軸距離相等，所以x=y或x=-y
又圓心在5x-3y-8=0上
若x=y，則x=y=4；若x=-y，則x=1，y=-1
所以圓心是（4，4）或（1，-1）
因?yàn)榘霃骄褪菆A心到切線距離，即到坐標(biāo)軸距離
所以圓心是（4，4），則r=4；圓心是（1，-1），則r=1
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）²+（y-4）²=16和（x-1）²+（y+1）²=1．
（2）設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，m），半徑為r，則圓的方程為x²+（y-m）²=r²
∵圓經(jīng)過兩點(diǎn)A（-1，4）、B（3，2）
∴（-1）²+（4-m）²=r²，3²+（2-m）²=r²，解得：m=1，r=$\sqrt{10}$，
∴圓的方程為x²+（y-1）²=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用待定系數(shù)法求出圓心和半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題．