Question

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本（固定投入）為5萬，已知生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本（另增加投入）2.5萬元，根據(jù)市場調(diào)研分析，銷售的收入為g（x）=50x-5x²（萬元），（0≤x≤5），其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百件）．假設(shè)此種產(chǎn)品的需要求量最多為500件，設(shè)該工廠年利潤為y萬元．
（1）將年利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
（2）求年利潤的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）本題考查的是分段函數(shù)的有關(guān)知識，利用年利潤=年銷售收入-投資成本（包括固定成本），可得年利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
（2）用配方法化簡解析式，求出最大值．

解答： 解：（1）設(shè)年產(chǎn)量為x百件，當(dāng)0≤x≤5時，產(chǎn)品全部售出
∴y=（50x-5x²）-（5+2.5x）=-5x²+47.5x-5
當(dāng)x＞5時，產(chǎn)品只能售出500件
∴y=（50×5-5×5²）-（5+2.5x）=-2.5x+120
∴y=

-5x2+47.5x-5，0≤x≤5 -2.5x+120，x＞5

；
（2）當(dāng)0≤x≤5時，y=-5x²+47.5x-5，∴x=4.75時，y_max=107.8125
當(dāng)x＞5時，y＜107.5
故當(dāng)年產(chǎn)量為475件時取得最大利潤，且最大利潤為107.8125元，最佳生產(chǎn)計劃475件．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，用配方法可求出最大值，配方法求最值是常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．