Question

已知函數f（x）=

2x

x2+a

的圖象如圖所示．
（1）求a的值；
（2）寫出f（x）的單調遞增區(qū)間，并解方程：f（sinα）+f（cosα）=0；
（3）矩形ABCD的兩個頂點A、B在函數f（x）的圖象上（位于第一象限，且點A在點B右側），另兩個頂點C、D在x軸上，設頂點A的橫坐標為t，試用t表示矩形ABCD面積S，并求矩形ABCD面積S的取值范圍．

Answer 1

考點：函數最值的應用

專題：壓軸題

分析：（1）求函數的導數，利用導數研究函數的單調性，利用函數的最大值為1來求a
 （2）利用f（x）為奇函數，把f（sinα）+f（cosα）=0等價轉化為f（sinα）=f（-cosα），再應用單調性求解．
（3）先求C點的橫坐標，然后表示四邊形的面積S，建立S是t的函數，利用求函數的值域求面積的范圍

解答： 解：（1）易求f′（x）=

-2(x2-a)

(x2+a)2

若-a≥0，則x²-a≥0，則f′（x）≥0，函數f（x）單調，這與已知函數不單調相矛盾，故-a＜0，∴a＞0，
令f′（x）=0得x=-

a

、x=

a

．
∴在（-∞，-

a

）時f′（x）＜0、在（-

a

，

a

）時f′（x）＞0、在（

a

，+∞）時f′（x）＜0，
∴函數f（x）在（-∞，-

a

）時遞減、在[-

a

，

a

]時遞增、在（

a

，+∞）時遞減
∴x＞0時，當x=

a

時f（x）取最大值f（

a

），∴f（

a

）=1，∴

2 a

( a )2+a

=1，解得a=1．
（2）由第（1）問知，a=1，∴f（x）=

2x

x2+1

，且f（x）在[-

a

，

a

]也即在[-1，1]時遞增，
易知函數f（x）為奇函數，∴f（sinα）+f（cosα）=0?f（sinα）=-f（cosα）?f（sinα）=f（-cosα），
又f（x）在[-1，1]時單調遞增，故sinα=-cosα，∴tanα=-1
∴α=kπ-

π

4

，（k∈Z）
（3）易知t＞1，設C的橫坐標為m，則f（m）=f（t），∴

2m

m2+1

=

2t

t2+1

，
整理得（t-m）（mt-1）=0，由于m≠t，∴mt-1=0，∴m=

1

t

，
矩形ABCD的長為t-

1

t

，寬為f（t）=

2t

t2+1

∴S=（t-

1

t

）

2t

t2+1

，
∴S=（t-

1

t

）

2t

t2+1

=

2t2-2

t2+1

=2-

4

t2+1

．
∵t＞1，∴t²＞1，∴t²+1＞2，∴2-

4

t2+1

∈（0，2），
∴矩形ABCD面積S的取值范圍為（0，2）．

點評：本題主要考查函數與導數的綜合應用、函數單調性的判斷與證明．解本題的關鍵是靈活應用題目條件，尤其是從圖中函數的單調性判斷出a＞0是關鍵，這里體現了向條件探究的策略．