Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x（x²-2x+a）（其中a∈R，a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)曲線y=f（x）在（a，f（a））處的切線為l，當(dāng)a∈[1，3]時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表示出截距b=e^a（-a³+a），記g（a）=e^a（-a³+a），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出截距的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x（x²-2x+a）+e^x（2x-2）=e^x（x²+a-2），
當(dāng)a≥2時，f'（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是R；
當(dāng)a＜2時，$f'（x）≥0?{x^2}≥2-a?x≤-\sqrt{2-a}$或$x≥\sqrt{2-a}$，
函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是$（-∞，-\sqrt{2-a}），（\sqrt{2-a}，+∞）$，遞減區(qū)間是$（-\sqrt{2-a}，\sqrt{2-a}）$；
（Ⅱ）f（a）=e^a（a²-a），f'（a）=e^a（a²+a-2），
所以直線l的方程為：y-e^a（a²-a）=e^a（a²+a-2）（x-a），令x=0得到：
截距b=e^a（-a³+a），記g（a）=e^a（-a³+a），g'（a）=e^a（-a³-3a²+a+1），
記h（a）=-a³-3a²+a+1⇒h'（a）=-3a²-6a+1＜0（∵1≤a≤3）
所以h（a）遞減，h（a）≤h（1）=-2＜0，
∴g'（a）＜0，即g（a）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，
∴g（3）≤g（a）≤g（1），即截距的取值范圍是：[-24e³，0]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．