Question

【題目】如圖， 為圓的直徑，點在圓上， ，矩形所在的平面與圓所以的平面互相垂直，已知.

（1）求證：平面平面；

（2）當的長為何值時，平面與平面所成的銳二面角的大小為？

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）當的長為時，平面與平面所成的銳二面角大小為.

【解析】【試題分析】（1）先運用線面垂直的判定定理證明線面垂直，再運用面面垂直的判定定理分析推證；（2）依據(jù)題設(shè)條件建立空間直角坐標系，再運用向量的有關(guān)知識及數(shù)量積公式分析求解：

解：（1）平面平面，

平面平面，∴平面.

∵平面，∴，

又∵為圓的直徑，∴，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

（2）設(shè)中點為，以為坐標原點， 、、方向分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標系（如圖）.

設(shè)，則點的坐標為，

則，又，

∴.

設(shè)平面的法向量為，則，即

令，解得.∴.

由（1）可知平面，取平面的一個法向量為

∴，即，解得.

因此，當的長為時，平面與平面所成的銳二面角大小為.