Question

6．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x+1．
（1）求出y=f（x）的解析式，并畫出函數(shù)圖象；
（2）求出函數(shù)在[-3，1]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的奇偶性和已知解析式，把-x整體代入可得解析式；
（2）由（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f（-x）=-f（x），
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-（x+1），
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-x+1，x＞0\\ 0，x=0\\-x-1，x＜0.\end{array}\right.$
（2）由（1）知，y=f（x）在[-3，0）單調(diào)遞減，（0，1）單調(diào)遞減，
所以y=f（x）在[-3，0）值域?yàn)椋?1，2]，在（0，1]上值域?yàn)閇0，1），f（0）=0，
所以y=f（x）在[-3，1]上值域?yàn)椋?1，2]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式求解，涉及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及函數(shù)的作圖，屬中檔題．