Question

11．已知函數f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$．
（1）化簡f（x）的解析式，并寫出f（x）的最小正周期；
（2）求當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函數中的恒等變換應用化簡可得函數解析式為f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），由三角函數的周期性及其求法可求函數的最小正周期；
（2）根據三角函數的性質求得函數的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$
=（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{4}$cos²-$\frac{3}{4}$sin²x-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1+cos2x}{8}$-$\frac{3-3cos2x}{8}$-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
函數f（x）的最小正周期為T=π，
（2）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，得$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，$cos（2x+\frac{π}{4}）∈[-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
所以當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求函數f（x）的值域為$[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}]$．

點評 本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的圖象和性質的應用，屬于基本知識的考查．