Question

19．已知a∈R，解關(guān)于x的不等式：ax²-2（a-1）x+a≤0．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，討論a=0與a＜0、a＞0時(shí)對(duì)應(yīng)不等式解集的情況，從而寫出不等式的解集．

解答 解：①a=0時(shí)，不等式化為2x≤0，解得x≤0；（2分）
②a＜0時(shí)，△=4（a-1）²-4a²=4（1-2a）＞0，
不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為${x_1}=\frac{{a-1-\sqrt{1-2a}}}{a}$，
${x_2}=\frac{{a-1+\sqrt{1-2a}}}{a}$，則x₁＞x₂，
所以x≤x₂或x≥x₁；（4分）
③a＞0時(shí)，
若$a=\frac{1}{2}$，則△=0，所以x=-1；（6分）
若$a＞\frac{1}{2}$，則△＜0，不等式無解；（8分）
若$0＜a＜\frac{1}{2}$，則△＞0且x₁＜x₂，所以x₁≤x≤x₂；（10分）
綜上：$a＞\frac{1}{2}$時(shí)不等式解集是∅；
$a=\frac{1}{2}$時(shí)不等式解集是{-1}；
$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)不等式解集是$[{\frac{{a-1-\sqrt{1-2a}}}{a}，\frac{{a-1+\sqrt{1-2a}}}{a}}]$；
a=0時(shí)不等式解集是（-∞，0]；
a＜0時(shí)不等式解集是$（{-∞，\frac{{a-1+\sqrt{1-2a}}}{a}}]∪[{\frac{{a-1-\sqrt{1-2a}}}{a}，+∞}）$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．