Question

【題目】古希臘有一著名的尺規(guī)作圖題“倍立方問(wèn)題”：求作一個(gè)正方體，使它的體積等于已知立方體體積的2倍，倍立方問(wèn)題可以利用拋物線(xiàn)（可尺規(guī)作圖）來(lái)解決，首先作一個(gè)通徑為（其中正數(shù)為原立方體的棱長(zhǎng)）的拋物線(xiàn)，如圖，再作一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)頂點(diǎn)重合而對(duì)稱(chēng)軸垂直的拋物線(xiàn)，且與交于不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，自點(diǎn)向拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸作垂線(xiàn)，垂足為，可使以為棱長(zhǎng)的立方體的體積為原立方體的2倍.

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）為使以為棱長(zhǎng)的立方體的體積為原立方體的2倍，求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程（只須以一個(gè)開(kāi)口方向?yàn)槔��?/span>.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

(1)以為原點(diǎn)， 為軸正向建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)不妨設(shè)焦點(diǎn)位于y軸正半軸，結(jié)合題意計(jì)算可得拋物線(xiàn)方程為.

試題解析：

（1）以為原點(diǎn)， 為軸正向建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意，拋物線(xiàn)的通徑為，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)拋物線(xiàn)，

又由題意， ，所以，代入，

得： ，解得：

所以點(diǎn)代入

得： ，解得：

所以?huà)佄锞�(xiàn)為： .