【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，求證：對任意成立.

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，再求解切線方程；

（Ⅱ）通過求解的最小值來比較大小.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>

所以

當(dāng)時，

所以，而

曲線在處的切線方程為

化簡得到

（Ⅱ）法一：

因?yàn)?/span>，令

得

當(dāng)時，，，在區(qū)間的變化情況如下表:

0

0

極大值

極小值

所以在上的最小值為中較小的值，

而，所以只需要證明

因?yàn)?/span>，所以

設(shè)，其中，所以

令，得，

當(dāng)時，，，在區(qū)間的變化情況如下表:

0

極小值

所以在上的最小值為，而

注意到，所以，問題得證

法二：

因?yàn)椤皩θ我獾?/span>，”等價于“對任意的，”

即“，”，故只需證“，”

設(shè)，所以

設(shè)，

令，得

當(dāng)時，，，在區(qū)間的變化情況如下表:

0

極小值

所以 上的最小值為，而

所以時，，所以在上單調(diào)遞增

所以

而，所以，問題得證

法三：

“對任意的，”等價于“在上的最小值大于”

因?yàn)?/span>，令

得

當(dāng)時，，，在在上的變化情況如下表:

0

0

極大值

極小值

所以在上的最小值為中較小的值，

而，所以只需要證明

因?yàn)?/span>，所以

注意到和，所以

設(shè)，其中

所以

當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，所以

而

所以，問題得證

法四：

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，

設(shè)，其中

所以

所以，，的變化情況如下表:

      • 0
        
			
        
			
			
        
		
	

		

		





			
		
		
				
        
				練習(xí)冊系列答案
		
        
		
				
			

					
        
				相關(guān)習(xí)題
			
        
						
		
        
			
        
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
        

						
        【題目】在直角坐標(biāo)平面上，稱橫、縱坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn)．求滿足如下條件的最小正整數(shù)：每一個圓周上含有個有理點(diǎn)的圓，它的圓周上一定含有無窮多個有理點(diǎn)．
        

			
        

			
        
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
        

						
        【題目】已知橢圓的半焦距為，圓與橢圓有且僅有兩個公共點(diǎn)，直線與橢圓只有一個公共點(diǎn).
        （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
        （2）已知動直線過橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于兩點(diǎn)，試問：軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值?若存在，求出該定值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
        

			
        

			
        
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
        

						
        【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，短軸長為2，過定點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)，之間）.
        （1）求橢圓的方程；
        （2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
        （3）若射線交橢圓于點(diǎn)（為原點(diǎn)），求面積的最大值.
        

			
        

			
        
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
        

						
        【題目】已知二次函數(shù)f（x）=x2-（2m+1）x+m．
        （1）若方程f（x）=0有兩個不等的實(shí)根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，求m的取值范圍；
        （2）若對任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，求m的取值范圍．
        

			
        

			
        
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
        

						
        【題目】函數(shù)在同一個周期內(nèi)，當(dāng)時y取最大值1，當(dāng)時，y取最小值﹣1．
        （1）求函數(shù)的解析式y=f(x)；
        （2）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到y=f(x)的圖象？
        （3）若函數(shù)f（x）滿足方程f(x)=a（0＜a＜1），求在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．
        

			
        

			
        
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
        

						
        【題目】已知函數(shù).
        （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
        （2）判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.
        

			
        

			
        
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
        

						
        【題目】已知(e為目然對數(shù)的底數(shù)).
        (1)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最小值；
        (2)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
        

			
        

			
        
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
        

						
        【題目】如圖，公園里有一湖泊，其邊界由兩條線段和以為直徑的半圓弧組成，其中為2百米，為．若在半圓弧，線段，線段上各建一個觀賞亭，再修兩條棧道，使. 記．
        （1）試用表示的長；
        （2）試確定點(diǎn)的位置，使兩條棧道長度之和最大.
        

			
        

			
        
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