Question

【題目】已知橢圓的半焦距為，圓與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知動直線過橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于兩點(diǎn)，試問：軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值?若存在，求出該定值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在軸上存在點(diǎn)，使得為定值

【解析】

（1）根據(jù)已知求出即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，利用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積求出，此時(shí)為定值；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，求出此時(shí)點(diǎn)R也滿足前面的結(jié)論，即得解.

(1)依題意，得，

則，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

代人橢圓的方程，可得

設(shè)，，則，

設(shè)，則

若為定值，則，解得

此時(shí)

點(diǎn)的坐標(biāo)為

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代人，得

不妨設(shè)，若，則

綜上所述，在軸上存在點(diǎn)，使得為定值