Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線l：，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線．

（Ⅰ）求曲線C被直線l截得的弦長；

（Ⅱ）與直線l垂直的直線EF與曲線C相切于點Q，求點Q的直角坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）首先把參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換，進一步利用點到直線的距離公式和勾股定理的應用求出弦長．

（Ⅱ）利用直線垂直的充要條件求出圓的切線方程，進一步利用直線和曲線的位置關系求出切點的直角坐標．

解：（Ⅰ）曲線轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為．

直線l：，轉(zhuǎn)換為，

所以圓心到直線的距離，

所以曲線C被直線l截得的弦長為．

（Ⅱ）與直線l垂直的直線設為：，

由于直線EF與曲線C相切，

所以圓心到直線的距離，

解得或，

所以直線EF的方程為或．

所以設切點，

故解得，

或，解得，

即切點坐標為或．