Question

5．設S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a₁=3，a_n+1=2S_n+3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=（2n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1求得a₂，由條件a_n+1=2S_n+3，將n換為n-1，兩式相減可得a_n+1=3a_n，運用等比數(shù)列的求和公式即可得到所求通項公式；
（2）求得b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）當n=1時，a₂=2S₁+3=2a₁+3=9，
當n≥2時，a_n+1=2S_n+3，
可得a_n=2S_n-1+3．
兩式相減可得，a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
即為a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
則a_n=a₂•3^n-2=9•3^n-2=3ⁿ，
故a_n=3ⁿ對n=1也成立，
則a_n=3ⁿ對n為一切正整數(shù)成立；
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列遞推式：當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．