Question

【題目】已知關于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整數(shù)解有且僅有一個值為2．
（Ⅰ）求整數(shù)m的值；
（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）由|2x﹣m|≤1，得 ．∵不等式的整數(shù)解為2，∴ 3≤m≤5． 又不等式僅有一個整數(shù)解2，∴m=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=4，故a4+b4+c4=1，
由柯西不等式可知；（a2+b2+c2）2≤（12+12+12）[（a2）2+（b2）2+（c2）2]
所以（a2+b2+c2）2≤3，即 ，
當且僅當 時取等號，最大值為
【解析】（Ⅰ）由條件可得 ，求得3≤m≤5．根據(jù)不等式僅有一個整數(shù)解2，可得整數(shù)m的值．（Ⅱ）根據(jù)a4+b4+c4=1，利用柯西不等式求得（a2+b2+c2）2≤3，從而求得a2+b2+c2的最大值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法和二維形式的柯西不等式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號；二維形式的柯西不等式：當且僅當時，等號成立．