Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2a_n-2，數(shù)列{b_n}是首項為a₁，公差不為零的等差數(shù)列，且b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=

1

bnbn+1

，前n項和為P_n，對于?n∈N^*不等式 P_n＜t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)當n=1時a₁=S₁，當n≥2時a_n=S_n-S_n-1，判斷出數(shù)列{a_n}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，并求出
a_n，由等比中項的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式求出b_n；
（2）由（1）和題意求出c_n，利用裂項相消法求出前n項和P_n，化簡后求出P_n的范圍，由恒成立求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，a₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
得a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ．
則b₁=a₁=2，設(shè)公差為d，則b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列，
得（2+2d）²=2×（2+10d），
解得d=0（舍去）或d=3
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=3n-1．
（2）c_n=

1

bnbn+1

=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

（

1

3n-1

-

1

3n+2

）
則p_n=

1

3

（

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-1

-

1

3n+2

）=

1

3

（

1

2

-

1

3n+2

）＜

1

6

，
又對于?n∈N^*不等式 P_n＜t恒成立，
所以實數(shù)t的取值范圍是t≥

1

6

．

點評：本題考查了a_n與S_n的關(guān)系式，等比中項的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式，裂項相消法求數(shù)列前n項和，以及數(shù)列的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求范圍問題，屬于中檔題．