Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率$e=\frac{1}{2}$，且過點Q$（1，\;\frac{3}{2}）$
（1）求橢圓C的方程．
（2）橢圓C長軸兩端點分別為A，B，點P為橢圓上異于A，B的動點，定直線x=4與直線PA，PB分別交于M，N兩點，直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂
①證明${k_1}{k_2}=-\frac{3}{4}$；
②若E（7，0），過E，M，N三點的圓是否過x軸上不同于點E的定點？若經過，求出定點坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，b²=a²-c²=3c²，將Q$（1，\;\frac{3}{2}）$代入橢圓方程，即可求得c的值，則求得a和b的值，即可求得橢圓C的方程；
（2）①由（1）得A（-2，0），B（2，0），設P（x，y），由直線的斜率公式可知：則${k_1}{k_2}=\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=\frac{y^2}{{{x^2}-4}}=\frac{{3（1-\frac{x^2}{4}）}}{{{x^2}-4}}=-\frac{3}{4}$，②令PA：y=k₁（x+2），則M（4，6k₁），同理求得N（4，2k₂），k_EM=-$\frac{6{k}_{1}}{3}$=-2k₁，k_EN=-$\frac{2{k}_{2}}{3}$，$\frac{6{k}_{1}}{4-m}$•$\frac{2{k}_{2}}{4-m}$=-1，即可求得m=1，故過點E，M，N三點的圓是以MN為直徑的圓，過x軸上不同于點E的定點F（1，0）．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦點在x軸上，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
則b²=a²-c²=3c²，
由橢圓過點Q$（1，\;\frac{3}{2}）$，代入$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{3}{4{c}^{2}}=1$，解得：c=1，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①證明：由（1）得A（-2，0），B（2，0），設P（x，y），
則${k_1}{k_2}=\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=\frac{y^2}{{{x^2}-4}}=\frac{{3（1-\frac{x^2}{4}）}}{{{x^2}-4}}=-\frac{3}{4}$，
②設PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，P（x₀，y₀），則k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，
可令PA：y=k₁（x+2），則M（4，6k₁），
PB：y=k₂（x-2），則N（4，2k₂），
又k_EM=-$\frac{6{k}_{1}}{3}$=-2k₁，k_EN=-$\frac{2{k}_{2}}{3}$，
∴k_EMk_EN=-1，
設圓過定點F（m，0），則$\frac{6{k}_{1}}{4-m}$•$\frac{2{k}_{2}}{4-m}$=-1，解得m=1或m=7（舍），
故過點E，M，N三點的圓是以MN為直徑的圓，過x軸上不同于點E的定點F（1，0）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線的斜率公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．